Piezo Accelerometer Tutorial
Accelerometer - Eigenschaften
Grundsätzliche Gedanken
Bei der Schwingungsmessung im Allgemeinen muss man zwischen zwei grundsätzlich verschiedenen Arten unterscheiden, nämlich relative und der absolute Schwingung (oder Vibration).
Relative Vibration wäre die Messung eines variablen Abstands, beispielsweise des Spalts zwischen einer rotierenden Welle und einem Lager. Sie kann mit einem Näherungssensor gemessen werden, der am Lager installiert ist und auf die Welle gerichtet ist. Dieser liefert die Bewegung der Welle relativ zum Lager.
Ein Beschleunigungssensor (piezoelektrisch oder nicht) ist ein Trägheitssensor und misst die absolute Schwingung. Der Beschleunigungssensor misst Schwingungen im Raum und nicht in Bezug auf ein anderes System. Die Trägheitsmasse sorgt für diese Eigenschaft, da sie durch das Sensorelement im Sensor „aufgehängt“ ist. Die Beschleunigung wirkt auf die Trägheitsmasse und erzeugt eine Kraft oder Bewegung dieser Masse, die von dem Sensorelement gemessen wird. Für absolute oder seismische Messungen kann entweder ein Geschwindigkeits- oder ein Beschleunigungssensor verwendet werden, aber es gibt auch absolute Vibrationssensoren, die den Schwing-Weg messen. Bei einem piezoelektrischen Beschleunigungssensor messen wir die Kraft der beschleunigten Trägheitsmasse. Das Piezo-Sensorelement ist jedoch nicht vollständig starr und ermöglicht daher eine winzige Bewegung der Trägheitsmasse. Wir werden in diesem Kapitel sehen, dass diese Bewegung der Trägheitsmasse stark von der Schwingungsfrequenz abhängt und zu einem sehr wichtigen frequenzabhängigen dynamischen Verhalten führt.
Die Eigenfrequenz des seismischen Wandlers
Wir halten fest
-
Das Messelement eines eines absoluten Schwingungsaufnehmers kann als Feder betrachtet werden. Sein dynamisches Verhalten ist deshalb in erster Annäherung gleich dem eines Feder-Masse Schwingers und es wird durch seine Eigenfrequenz charakterisiert.
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Eine Erhöhung der Trägheitsmasse m führt zu einer niedrigeren Eigenfrequenz, während eine Erhöhung der Steifigkeit k der Aufhängung (Feder) diese erhöht.
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In einer Gleichung ausgedrückt lautet die Eigenfrequenz eines piezoelektrischen Accelerometers, der ein absoluter Schwingungsaufnehmer ist,
Unter Verwendung der Kreisfrequenz wird die Eigenfrequenz zu:
Aber Achtung: Diese einfache Formel gilt streng genommen nur für die Eigenfrequenz eines ungedämpften Oszillators, sie ist aber eine gute Näherung für die Eigenfrequenz eines piezoelektrischen Beschleunigungssensors .
Feder-Masse-Schwinger ohne Dämpfung
Wir betrachten unser Feder-Masse-Schwinger-Modell, das auf einer festen Basis steht.
Die Masse ist m [kg] und die Federkonstante ist k [N/m].
Nach Sir Newton ist die Kraft, die infolge der Beschleunigung auf die Masse wirkt gleich m· ẍ . Eine zusätzliche Kraft kommt von der Feder und beträgt k·x. Die Gravitationskraft m·g ist konstant. Wir können sie deshalb weglassen und schreiben:
oder
Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet
Dies ist eine kontinuierliche, harmonische Schwingung mit der Frequenz ω₀.
wird als Eigenfrequenz des Systems bezeichnet.
Ungedämpfter Feder-Masse-Oszillator
Feder-Masse-Schwinger mit Dämpfung
Die Eigenfrequenz eines gedämpften Oszillators unterscheidet sich geringfügig von der eines gleichen Oszillators ohne Dämpfung. Ein wirklich ungedämpfter Oszillator existiert in der realen Welt nicht, aber die Dämpfung eines piezoelektrischen Beschleunigungssensors ist sehr gering und kann praktisch vernachlässigt werden. Andere absolute Vibrationssensoren (z. B. MEMS-Sensoren oder Geschwindigkeitssensoren) weisen eine erhebliche Dämpfung auf, die berücksichtigt werden muss.
Aus diesem Grund und der Vollständigkeit halber werden hier sowohl die gedämpfte als auch die ungedämpfte Version behandelt.
Für weitere Ausführungen siehe auch die
Für die Berechnung wird normalerweise angenommen, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist. In der Abbildung wird die Dämpfung durch den zusätzlichen "Dashpot" mit dem Dämpfungskoeffizienten c [N/m/s] dargestellt.
Die Dämpfungskraft wird dann zu c · ẋ und die Summe aller Kräfte führt zu
Hier ist es sinnvoll, die relative Dämpfung ζ einzuführen, die definiert ist als
Feder-Masse-Schwinger mit Dämpfung
Wieder mit , erhält man die Differentialgleichung in der Form
Abhängig von den Anfangsbedingungen, z.B. mit x(t=0)=0 , lautet die Lösung
Dies ist eine sinusförmige Schwingung mit der Frequenz ωD und der Anfangsamplitude A.
Die Schwingung klingt exponentiell mit dem Exponenten - ζ · ω0 ab (siehe Abbildung ).
Die Frequenz ωD ist die gedämpfte Eigenfrequenz .
Mit unterscheidet sie sich geringfügig von ω0 der ungedämpften Schwingung in Abhängigkeit von ζ .
Für kleine ζ (wie beim piezoelektrischen Accelerometer) kann man jedoch getrost mit ω0 anstelle von ωD rechnen.
Abklingende Sinusschwingung
Frequenzeigenschaften des seismischen Wandlers
In diesem Abschnitt befassen wir uns mit Trägheits-Schwingungssensoren oder seismischen Aufnehmern im Allgemeinen. Für piezoelektrische Accelerometer können wir, abgesehen von der Region um die Resonanz, das mathematische Modell ohne Dämpfung verwenden,. Die meisten anderen Trägheitssensoren, seien es Geschwindigkeits- oder Beschleunigungssensoren, haben in der Regel eine erhebliche Dämpfung, die man berücksichtigen muss.
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Frequenzgang
Wir halten fest
Frequenzgang des Trägheits-Schwingungssensors
Als Modell verwenden wir denselben gedämpften Oszillator. Diesmal steht er aber nicht still, sondern bewegt sich gegenüber dem stationären Raum mit der Funktion u=g(t) . Wir zwingen also den Oszillator zur Bewegung und sprechen von erzwungener Schwingung.
Ein so aufgebauter Sensor kann Schwing-weg, -geschwindigkeit oder -beschleunigung messen, je nachdem, welcher Teil des Frequenzbereichs des Geräts verwendet wird. Die Unterteilung geschieht durch die Eigenfrequenz. Unterhalb der Eigenfrequenz wird die Schwingung als Beschleunigung und im oberen Frequenzbereich als Weg gemessen, während um die Eigenfrequenz herum das Sensorsignal eher der Geschwindigkeit der Bewegung entspricht.
Bei einer erzwungenen Schwingung haben wir die Anregung u der Basis und die Relativbewegung x der Masse. Die Position der Masse m ist durch u+x gegeben.
Die Beschleunigungskraft wird daher
Die Feder- und Dämpfungskräfte zwischen Basis und Masse bleiben dieselben wie beim festen Schwinger. Damit erhalten wir für die Gleichung des Gleichgewichts der Kräfte
Feder-Masse-Schwinger unter erzwungener Schwingung
nach Separierung der Variablen erhält man
Auf der rechten Seite steht die zweite Ableitung der Antriebsfunktion, d.h. die Beschleunigung der Basis. Wir wählen daher
d. h. eine harmonische Schwingung mit einer konstanten Beschleunigungsamplitude UA.
Unter Verwendung von ω0 und wieder ζ wie zuvor definiert, erhalten wir eine ähnliche Differential-gleichung wie für die freie Schwingung, die diesmal jedoch aufgrund des Terms auf der rechten Seite inhomogen ist:
Die Lösung dieser Gleichung besteht aus einem ersten abklingenden Teil (wie zuvor bei der freien Schwingung) und einem zweiten stationären Teil, welcher der Anregung u=g(t) folgt .
Nach einer Weile verschwindet der erste Teil. Es bleibt der stationäre Teil der Lösung, die Funktion der Auslenkung x(t) der Masse in Abhängigkeit der Beschleunigung der Basis:
Hier ist es sinnvoll, die dimensionslose relative Frequenz ωR einzuführen, d.h. die Erregerfrequenz im Verhältnis zur Eigenfrequenz
Üblich ist auch die Darstellung als Frequenzgang (aufgeteilt in Amplitudengang und Phasengang ), also das Verhältnis der Ausgangsamplitude zur Eingangsamplitude als Funktion der Erregerfrequenz.
Der Eingang UA ist eine Beschleunigung, während der Ausgang X0 in unserem Modell ein Weg (Auslenkung) ist.
Der Frequenzgang wird daher mit Beschleunigungs-Amplitudengang Φa bezeichnet
Die Dimension der Funktion ist [s²], weil sie gleich Weg / Beschleunigung, X0 /UA ist.
Das doppelt logarithmische Diagramm zeigt die Funktion für verschiedene Werte der relativen Dämpfung ζ .
Hier sehen wir den Phasengang. Er erweist sich als symmetrisch um die Resonanz, wenn er über eine logarithmische Frequenzskala aufgetragen wird.
Die Phase des Ausgangs eilt dem Eingang nach. Der Phasengang wird also negativ.
Beschleunigungs-Amplitudengang
Phasengang
Resonanzfrequenz
Die Resonanz (lat. resonare „widerhallen“) ist die verstärkte Schwingung eines schwingungsfähigen Systems unter einer äusseren, zyklischen Anregung nahe der Eigenfrequenz des Systems.
Mit jedem Zyklus nimmt das System mehr Energie auf, wodurch die Amplitude des Systems kontinuierlich erhöht wird, bis die Energieaufnahme mit dem Energieverlust durch Dämpfung im Gleichgewicht ist.
In der Sensorik wird Resonanz einfach als das Maximum des Amplitudengangs definiert, bezogen auf auf ein Eingangssignal mit konstanter Amplitude, aber variabler Frequenz.
In der Tat erhält man bei grösseren ζ-Werten leicht unterschiedliche Resonanzfrequenzen, je nachdem, ob die Beschleunigung, die Geschwindigkeit oder der Schwingweg des Eingangssignals konstant gehalten wird, während die Frequenz durchlaufen wird.
(Bei ζ = 0,1 macht der Unterschied etwa 1% aus)
Beschleunigungs-Resonanzfrequenz:
Geschwindigkeits-Resonanzfrequenz:
Schwingweg-Resonanzfrequenz:
Aber wie kann es sein, dass man für dasselbe physikalische Phänomen drei verschiedene Lösungen erhält?
Für mehr Details (inkl. der Herleitung der Formeln) besuche bitte die
Qualitätsfaktor Q und Bandbreite
Der Frequenzgang oder die Übertragungsfunktion eines Einmassenschwingers kann auch als Bandpassfilter betrachtet werden. Die Verstärkung bei Resonanz wird dann Gütefaktor Q genannt und die Breite des Filters Bandbreite B. Sowohl Q als auch B hängen von der Dämpfung ab. Die Dämpfung des Oszillators kann daher durch Aufzeichnen der maximalen Antwortamplitude Φv bestimmt werden.
Es gilt folgende Beziehung:
Die Dämpfung in einem System wird auch durch die Schärfe oder Breite der Resonanzspitze charakterisiert.
Die bei -3dB gemessene Frequenzdifferenz Δω von Φv max wird als Bandbreite bezeichnet ( -3dB entspricht Q/√̅2̅ ).
Für die Dämpfung des Systems gilt für kleine Werte von ζ
Qualitätsfaktor und Bandbreite
Accelerometer Eigenfrequenz / Resonanz
Sehr oft, insbesondere im Zusammenhang mit piezoelektrischen Accelerometern, wird die Eigenfrequenz als Resonanz bezeichnet, wobei Resonanz streng genommen etwas anderes ist. Die beiden Dinge sind eng verwandt, aber nicht identisch.
Die Frequenz, mit der ein System nach einer Anregung schwingen würde, wenn es keine Anregungs-kraft und keine Dämpfungskraft gäbe, wird als Eigenfrequenz bezeichnet .
Während die Eigenfrequenz eine interne Eigenschaft des Systems ist, ist Resonanz die Wechselwirkung mit einer externen Anregung mit einer Frequenz, die gleich oder nahe ihrer Eigenfrequenz ist. Bei Systemen mit starker Dämpfung weicht die Resonanzfrequenz geringfügig von der Eigenfrequenz ab, während bei einem piezoelektrischen Accelerometer beide Werte als gleich angesehen werden können.
Bestimmende Design-Elemente
Wir haben gesehen, dass die Eigenfrequenz von der seismischen Masse und der Federkonstante abhängt. Im piezoelektrischen Accelerometer besteht die "Feder" aus dem Stapel piezoelektrischer Elemente.
Die Federkonstante ki jedes Teils des Sensorelements ist gegeben durch die Oberfläche Ai , dividiert durch die Dicke ti mal dem Elastizitätsmodul Ei
Bei in Serie angeordneten Teilen wird die Gesamtfederkonstante k
Um eine hohe Steifigkeit zu erreichen, benötigen wir also eine möglichst geringe Anzahl von Elementen mit möglichst grosser Oberfläche und geringer Dicke. Neben der Anzahl der Teile sind es aber auch die Grenzflächen zwischen ihnen, welche die Steifigkeit verringern. Daher muss auf die Ebenheit und Oberflächengüte aller Teile geachtet werden.
Montierte vs. un-montierte Eigenfrequenz oder Resonanz
Bei der Definition und Berechnung der Eigenfrequenz des Sensors (bzw. Oszillators) sind wir von einer raumfesten Basis ausgegangen. In der Realität ist dies ungefähr der Fall, wenn der Sensor an einem schweren und starren Körper montiert ist. In diesem Fall hat das Schwingungsmuster einen Knoten an der Basis und einen Bauch an der trägen Masse. Wenn der Sensor nicht montiert ist, schwingen die seismische Masse und die Basis gegenläufig um einen Knoten der sich irgendwo innerhalb des Messelements befindet. Die Eigenfrequenz des freien, nicht montierten Sensors ist daher deutlich höher als im montierten Zustand.
Um etwas über die Hochfrequenzfähigkeit eines Accelerometers aussagen zu können, müssen wir den montierten Zustand betrachten. Der un-montierte Wert kann verwendet werden, um die Konformität einer Anzahl von Sensoren zu überprüfen, z.B. in einer Qualitätskontrolle.
Messung der Eigenfrequenz / Resonanz
Die Eigenfrequenz f0 eines piezoelektrischen Beschleunigungsaufnehmers kann durch einen kurzen mechanischen Impuls angeregt werden. Um f0 im montierten Zustand zu messen, benötigen wir einen Block mit mindestens dem zehnfachen Gewicht des Sensors und einem hohen E-Modul. Es wird empfohlen, einen Würfel aus Wolfram zu verwenden.
Die folgenden Methoden können verwendet werden, um die montierte oder nicht montierte Eigenfrequenz zu messen.
Ein mechanischer Schock kann beispielsweise durch eine kleine Metallkugel erzeugt werden, die an einem Faden befestigt ist. Achte beim Schlagen mit der aufgehängten Kugel darauf, dass sie nicht zweimal auftrifft.
Aufprall einer Stahlkugel
Eine weitere Möglichkeit ist die Hsu-Nielsen Testmethode. Dabei handelt es sich um eine einfache Methode, bei der ein Anregungssignal mit einem breiten Frequenzbereich mechanisch durch Zerbrechen einer Bleistiftmine erzeugt wird. Ursprünglich für die Prüfung von Schallemissions-sensoren entwickelt, eignet sich diese Methode auch hervorragend zur Messung der Eigenfrequenz eines Beschleunigungsaufnehmers
Hsu Nielsen Quellentestverfahren
Nach einem solchen Stoss vibriert die seismische Masse bei f0, und wir können mit einem Signal-Analysator oder einem Transientenrekorder f0 auslesen. Grundsätzlich kann so auch die Dämpfungsrate bestimmt werden, allerdings müssen die Signale dazu sauber genug sein.
Wir müssen bedenken, dass wir nicht nur die Eigenfrequenz des Messelements anregen, sondern auch viele andere Resonanzfrequenzen im Sensor. Dies bedeutet, dass man bei der Interpretation des Messergebnisses in der Regel etwas sorfältig sein muss.
Es gibt auch eine ganz andere Methode, die den inversen piezoelektrischen Effekt nutzt, um die Eigenfrequenz bezw. die Resonanz durch Einkopplung eines elektrischen Signals anzuregen. Als Einkopplungssignal wählen wir einen Einzelimpuls oder alternativ ein weisses Rauschen. Durch Berechnung der FFT-Übertragungsfunktion des über den Sensor zugeführten Signals im Vergleich zum direkten Signal kann die Eigen- / Resonanzfrequenz leicht bestimmt werden.
Resonanztestmethode durch Signaleinkopplung
Frequenzgang des Accelerometers
Frequenzgang im oberen Bereich
Eines der Hauptmerkmale eines piezoelektrischen Accelerometers ist sein Frequenzgang. Wie wir oben gesehen haben, hängt die Frequenzgangfunktion von der Resonanz des Sensors ab.
Die Resonanzfrequenz als solche hängt stark von der Konstruktion des Sensors ab, aber der Verlauf der Antwortkurve liegt in der Regel sehr nahe bei der theoretisch erwarteten Kurve.
Die Abbildung zeigt den typischen Frequenzgang eines piezoelektrischen Beschleunigungssensors mit einer grossen Verstärkung bei der Resonanz. Wir finden Q-Faktoren von etwa 50 oder sogar 100, was ζ- Werte in der Größenordnung von 0,01 bis 0,005 bedeutet.
Für die Frequenz verwenden wir die Beziehung
Als Faustregel gilt, dass die Frequenzgangkurve bis etwa 1/5 der Resonanzfrequenz im Bereich von 5 % bleibt und dass der +3dB-Punkt etwa bei der Hälfte der Resonanzfrequenz liegt.
Unterhalb der Resonanz ist die Phasenverschiebung vernachlässigbar. Bei der Resonanzfrequenz ändert sie sich jedoch fast augenblicklich auf -180°.
Typischer Frequenzgang des Beschleunigungsmessers
Frequenzgang im unteren Bereich
Zu tieferen Frequenzen hin ist die korrekte Wiedergabe des Beschleunigungssignals dadurch begrenzt, dass die im Piezoelement aufgebaute Ladung entsprechend der Zeitkonstante RC abgebaut wird. Die Zeitkonstante selbst ergibt sich aus der Kapazität C und dem Innenwiderstand R des Piezoelements.
Im Frequenzbereich ergibt das RC- Glied einen Hochpass mit der Grenzfrequenz
Durch die Verwendung eines Ladungsverstärkers kann die Zeitkonstante erheblich erhöht und die Grenzfrequenz des resultierenden Hochpassfilters enorm gesenkt werden. Die Zeitkonstante wird dann vom Ladungswandler vorgegeben, sofern der Innenwiderstand des Piezoelements ausreichend ist.
Die detaillierten Zusammenhänge sind im Kapitel „Signalwandler“ dargestellt.
Typischer Frequenzgang eines einpoligen Hochpassfilters
Die Abbildung zeigt eine typische Kennlinie für ein solches einpoliges Hochpassfilter. Bei der Grenzfrequenz fc finden wir eine Dämpfung von -3 dB. Wenn wir den -5%-Punkt suchen, müssen wir in den Bereich von etwa 10 mal fc gehen .
Bestimmende Design-Elemente
Ähnlich wie beim Dynamikbereich eines Accelerometers stellen wir für den Frequenzgang fest, dass das obere Ende durch das mechanische Sensordesign definiert ist, während das untere Ende eher durch die nachfolgende Elektronik gegeben ist.
Der Frequenzgang bei höheren Frequenzen wird durch die Resonanz bestimmt, daher sind die gleichen Punkte wie bei der Eigenfrequenz zu beachten. Ausserdem muss man bedenken, dass die Masse des Beschleunigungsaufnehmers das Frequenzverhalten des zu messenden Objekts beeinflussen oder eine zusätzliche Resonanz in der mechanischen Messkette erzeugen kann. Das bedeutet, dass der Sensor mit der geringsten Masse normalerweise am besten geeignet ist, um hohe Frequenzen zu messen.
Neben der Sensormasse sind vor allem die Montagefläche des Beschleunigungssensors und die Kontaktfläche zum Messobjekt von Bedeutung.
Messung des Frequenzgangs und der Resonanz
Für die Messung des Frequenzgangs verwenden wir grundsätzlich den gleichen Aufbau wie für die Kalibrierung. D.h. eine back-to- back-Montage mit einem zentralen Block, auf dem wir auf der einen Seite den Prüfling und auf der anderen Seite einen Referenzaufnehmer montieren. Natürlich spielt auch der Frequenzgang des Referenzaufnehmers eine Rolle. Idealerweise sollte er eine Resonanz haben, die etwa 10 mal höher ist als die höchste zu messende Frequenz. Ist dies nicht der Fall, muss die Amplitude der Anregung entsprechend angepasst werden. Bei einer Laser-Referenz gibt es dieses Problem nicht.
Im Übrigen muss den Oberflächen des zentralen Blocks grösste Aufmerksamkeit geschenkt werden. Die Ebenheit und Rauheit dieser Oberflächen haben einen grossen Einfluss auf die Resonanzfrequenz. Bei sehr hohen Frequenzen sollte ein Ölfilm aufgetragen werden.
Prüfling
Referenz Accelerometer
Aufbau für die Frequenzgangmessung
Zur Durchführung einer Frequenzgangmessung stellen wir entweder das Treibersignal auf verschiedene feste Frequenzen ein und lesen das Signal des Prüflings ab oder wir durchlaufen mit der Frequenz des Treibersignals langsam den Bereich von der niedrigsten bis zur höchsten gesuchten Frequenz.
Durch Erhöhen der Frequenz bis zum Erreichen des maximalen Ausgangssignals ermitteln wir die Resonanz. Wenn wir uns für den Q-Faktor interessieren, muss darauf geachtet werden, dass die Resonanzspitze wirklich von der Anregung getroffen wird und lange genug verbleibt, dass das Signal auf das tatsächliche Maximum ansteigt
Einfluss der Oberfläche / Ankopplungsbedingungen
Die Grafik zeigt eine Reihe von reellen Messungen der Resonanzfrequenz desselben Sensors, der auf einem Block mit verschiedenen Oberflächengüten von ISO N3 (geläppt) bis N6 (geschliffen) montiert ist. Die Resonanz variiert von 37,7 kHz bis hinunter zu 27,2 kHz im trocken montierten Zustand, was einem Verlust von 27 % entspricht!
Mit einem aufgebrachten Ölfilm ist das Ergebnis wesentlich besser, aber der Einfluss der Oberfläche ist immer noch sichtbar.
Messwerte der Resonanz eines Accelerometers bei unterschiedlichen Oberflächengüten und Kopplungsbedingungen