Zugriff auf Beschleunigungsmesser

ein komplexes Thema auf einfache Weise

logarithm-1544756_1920.jpg
 


Eigenfrequenz eines Feder-Masse-Oszillators


Feder-Masse-Schwinger ohne Dämpfung

Die Basis des Feder-Masse-Oszillatormodells wird als raumfest betrachtet. In der Gleichgewichtslage sei x = 0. Die Masse sei m [kg] und die Federkonstante sei k [N/m].

Um eine Bewegungsgleichung zu erhalten, identifiziert man alle auftretenden statischen und dynamischen Kräfte.

Die durch die Beschleunigung auf die Masse wirkende Kraft ist .

Die zweite Kraft wird durch die Feder verursacht und ist k·x .

Da keine anderen Kräfte beteiligt sind, können wir schreiben:

mx ̈+kx=0

oder

x ̈+k⁄m x=0

Dies ist eine homogene Differentialgleichung.

Für die Lösung macht man den Ansatz

x(t)=Ce^αt

Die charakteristische Gleichung ist

α^2+k/m=0

mit den Lösungen

α_1,2=± i √(k⁄m)
Sketch showing the undamped spring-mass oscillator

Ungedämpfter Feder-Masse-Oszillator

Picture9A.png

Mit                      finden wir für die Lösung der Differentialgleichung

x=A cos⁡(√(k⁄m)  ∙t)+B sin⁡(√(k⁄m)  ∙t)

A und B sind durch die Anfangsbedingungen gegeben. Wenn zum Beispiel die Auslenkung x zum Zeitpunkt 0 gleich X 0 ist , dann folgt

x=X_0   cos⁡〖ω_0 t〗

Dies ist eine kontinuierliche, harmonische Schwingung mit der Frequenz ω₀. 

ω_0=√(k⁄m)

wird als Eigenfrequenz des Systems bezeichnet.


Feder-Masse-Schwinger mit Dämpfung

Wir fügen einen dämpfenden "Dashpot" mit dem Dämpfungskoeffizienten c hinzu .

Die Dämpfungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit und somit c · .

Die Dimension von [ c ] ist N/m/s oder kg/s. 

Die Summe aller Kräfte führt zu

mx ̈+cx ̇+kx=0

Hier ist es sinnvoll, die relative Dämpfung ζ einzuführen, die definiert ist als

ζ=c/(2√mk)=c/(2mω_0 )

Dh die Dämpfung c  ins Verhältnis zu m und ω 0 gesetzt . Die "2" ist ein willkürlicher Faktor.

Sketch showing the spring-mass oscillator with damping

Feder-Masse-Schwinger mit Dämpfung

Verwenden             wieder kann die Differentialgleichung in der Form geschrieben werden

ω_0=√(k⁄m)
x ̈+2ζω_0 x ̇+ω_0^2 x=0

Die Differentialgleichung ist wieder homogen und wir machen den gleichen Ansatz

x(t)=Ce^αt

Die charakteristische Gleichung lautet dann

α^2+2ζω_0 α+ω_0^2=0

mit den Lösungen

α_1,2=[-ζ±√(ζ^2-1)  ] ω_0

Für ζ = 0 erhält man wieder das Ergebnis für den ungedämpften Oszillator.
Uns interessiert hier eher der Fall eines schwach gedämpften Oszillators, also ζ < 1. Dann wird der Wurzelausdruck negativ und die Lösungen der Kennliniengleichung werden es

α_1,2=-ζω_0±i√(〖1-ζ〗^2 )  ω_0

Sie sind konjugiert komplex
Die Gesamtlösung ist gleich der Summe der Einzellösungen und wird

x(t)=C_1 e^(α_1 t)+C_2 e^(α_2 t)

Wenn man den Imaginärteil einstellt                 so bekommt man

√(〖1-ζ〗^2 )  ω_0=ω_D
x= e^(-ζω_0 t) (A cos⁡〖ω_D t〗+B sin⁡〖ω_D t〗 )

A und B werden wiederum durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Mit x (t=0)=0 zum Beispiel ist die Lösung

x= A∙e^(-ζω_0 t)  〖∙cos〗⁡〖ω_D t〗

Dies ist eine Sinusschwingung mit der Frequenz ω D und der Anfangsamplitude A.

Die Schwingungsfrequenz ω D  ist die gedämpfte Eigenfrequenz. Beachten Sie, dass es abhängig von ζ geringfügig von ω 0 der ungedämpften Schwingung abweicht.

Ableitung der Frequenzkennlinien


Frequenzeigenschaften des seismischen Wandlers


Herleitung der Übertragungsfunktion

Im Gegensatz dazu wenden wir nun eine Bewegung u=g(t) auf die Basis an. Damit zwingen wir den Oszillator zum Schwingen. Die Position der Masse m ist gegeben durch u + x .

Die Beschleunigungskraft wird daher

m∙(d^2 (u+x))/(dt^2 )

Für das Gleichgewicht der Kräfte finden wir die Gleichung

m (d^2 (u+x))/(dt^2 )+c dx/dt+kx=0
m (d^2 x)/(dt^2 )+c dx/dt+kx=-m (d^2 u)/(dt^2 )

                           oder

〖ω_0〗^2=k/m   and    ζ=c/(2mω_0 )

dividieren durch m , einführen             und

wir erhalten die gleiche Differentialgleichung wie bei der freien Schwingung, aber jetzt ist sie durch den Term nach rechts inhomogen

(d^2 x)/(dt^2 )+2ζω_0  dx/dt+ω_0^2 x=-(d^2 u)/(dt^2 )
Sketch showing spring-mass oscillator under forced vibration

Feder-Masse-Schwinger unter erzwungener Schwingung

Die Lösung besteht aus der Überlagerung der Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer bestimmten Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Wir erhalten also einen abklingenden ersten Teil, wie bei der freien Schwingung, sowie einen zweiten Teil, der der Anregung u=g(t) folgt.

Als Anregungsfunktion wählen wir eine harmonische Schwingung (mit konstanter Wegamplitude)

u= U_0  cos⁡ωt
du/dt= -ωU_0  sin⁡ωt
(d^2 u)/(dt^2 )= 〖-ω〗^2 U_0  cos⁡ωt

Mit den Ableitungen                    und

die Differentialgleichung wird daher

(d^2 x)/(dt^2 )+2ζω_0  dx/dt+ω_0^2 x=ω^2 U_0  cos⁡ωt

Für die Lösung nehmen wir den Ansatz

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt

Durch Ableiten und Substituieren erhält man

[(ω_0^2-ω^2 )A+2ζω_0 ωB]  cos⁡ωt+[-2ζω_0 ωA+(ω_0^2-ω^2 )B]  sin⁡ωt=ω^2 U_0  cos⁡ωt

Ein Koeffizientenvergleich führt zu folgendem Gleichungssystem für A und B

■((ω_0^2-ω^2 )A+      2ζω_0 ω B=ω^2 U_0@  -2ζω_0 ωA+(ω_0^2-ω^2 )B=0      )

Die Determinante der Koeffizienten wird berechnet zu sein

∆ =(ω_0^2-ω^2 )^2+(2ζω_0 ω)^2

Die beiden Lösungen des Gleichungssystems werden

A=(ω_0^2-ω^2)/∆∙ω^2 U_0         B=(2ζω_0 ω)/∆∙ω^2 U_0

und daher

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt=(U_0 ω^2)/∆ [(ω_0^2-ω^2 )  cos⁡ωt+(2ζω_0 ω)  sin⁡ωt ]

Wir verwandeln                           hinein

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt           x(t)=X_0  cos⁡(ωt-φ)

Für die Amplitude und den Phasenwinkel erhalten wir

▁(X_0 )=√(A^2+B^2 )=▁(ω^2/√∆∙U_0 )
〖▁(tan⁡φ )=B/A〗⁡=  (2ζω_0 ω)/(ω_0^2-ω^2 )=▁((2ζ ω/ω_0 )/(1-(ω/ω_0 )^2 ))

und damit das Endergebnis der

allgemeine Übertragungsfunktion:

x(t)=ω^2/√((ω_0^2-ω^2 )^2+(2ζω_0 ω)^2 )∙U_0  cos⁡(ωt-φ)


Frequenzgang von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Zur Vereinfachung und für übertragbare Ergebnisse ist es besser, die Frequenzgangdarstellung zu verwenden. Betrachten wir zunächst nur den Amplitudengang, dh das Verhältnis der Ausgangsamplitude zur Eingangsamplitude als Funktion der Frequenz.


Verschiebungsfrequenzgang

X_0/U_0 =ω^2/√((ω_0^2-ω^2 )^2+(2ζω_0 ω)^2 )

Wir führen auch die dimensionslose Relativfrequenz ein  ω R  dh die Anregungsfrequenz im Verhältnis zur Eigenfrequenz

ω_R=ω/ω_0

Dazu erweitern wir den Ausdruck des Frequenzgangs mit 1 / ω 0 ² um die (dimensionslose) Verschiebungsantwort zu erhalten

Φ_d=X_0/U_0 =〖ω_R〗^2/√((1-〖ω_R〗^2 )^2+(2ζω_R )^2 )

Sowohl der Eingang U als auch der Ausgang X  in unserem obigen Modell sind Verschiebungen und der Frequenzgang wird daher als Verschiebungs-Amplitudengang bezeichnet  Φ d .

Das doppelt logarithmische Diagramm zeigt die Funktion für verschiedene Werte der relativen Dämpfung ζ .

Wir können sehen, dass für Frequenzen weit über der Eigenfrequenz das Übertragungsverhältnis 1 wird. Das bedeutet, dass wir in diesem Bereich 1 zu 1 haben

Graph showing displacement amplitude response

Verschiebungsamplitudenantwort

Verschiebungsverhalten. Nahe der Eigenfrequenz finden wir je nach ζ eine mehr oder weniger ausgeprägte Verstärkung mit einem Maximum bei der Resonanzfrequenz. Unterhalb der Resonanz geht die Kurve in eine Flankensteilheit von 40dB/Dekade über.


Beschleunigungsfrequenzgang

Für den Frequenzgang mit einem Beschleunigungssignal als Eingang müssen wir die Eingangsfunktion zweimal ableiten.

(d^2 u)/(dt^2 )= 〖-ω〗^2 U_0  cos⁡ωt

Das negative Vorzeichen betrifft eigentlich den Phasenwinkel und wir könnten auch schreiben

(d^2 u)/(dt^2 )= ω^2 U_0  cos⁡(ωt-π)

Da uns die Phase nicht interessiert, können wir sie auf Null setzen und erhalten für die

Beschleunigungsamplitudenantwort  Φ ein  :

Φ_a=X_0/U_A =1/〖ω_0〗^2 ∙1/√((1-〖ω_R〗^2 )^2+(2ζω_R )^2 )

Die Dimension der Funktion ist [s²], weil sie [Verschiebung X 0 ist  / Beschleunigung Ü 0 ].

Graph showing acceleration amplitude response

Antwort der Beschleunigungsamplitude

Aufgrund der doppelten Ableitung kippt die Funktion nun auf die andere Seite. Dh wir finden beschleunigungstechnisch eine direkte Übertragung im Frequenzbereich unterhalb der Eigenfrequenz, während wir für hohe Frequenzen eine Roll-off Rate von -40dB pro Dekade finden. Der Resonanzbereich sieht ähnlich aus wie die Verschiebungsantwort.


Geschwindigkeitsfrequenzgang

Schließlich können wir die Verstärkungsfunktion für eine Eingabe in Bezug auf die Geschwindigkeit berechnen und darstellen, und wir erhalten die

Amplitudengang der Geschwindigkeit  Φ v .

Φ_v=1/ω_0 ∙ω_R/√((1-〖ω_R〗^2 )^2+(2ζω_R )^2 )

Die Funktion ist nun symmetrisch um die Eigenfrequenz. Die Dimension der Funktion ist [Weg / Geschwindigkeit] = [s]

Der Phasengang ist in allen drei Fällen, Verschiebungsgeschwindigkeit und Beschleunigung, gleich.

φ⁡=  arctan⁡〖(2ζω_R)/(1-〖ω_R〗^2 )〗

Die Phasenänderung durch die Resonanz darf nicht damit verwechselt werden, dass Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung jeweils um π /2 versetzt sind.

Graph showing velocity amplitude response

Amplitudengang der Geschwindigkeit

Graph showing phase angle frequency response

Phasenwinkel-Frequenzgang


Resonanzfrequenz

In der Sensorik wird die Resonanz als Maximum der Ausgangsamplitude bei konstanter Eingangsamplitude definiert.

Daher erhält man angesichts der drei unterschiedlichen Amplitudengänge auch unterschiedliche Resonanzfrequenzen für Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Wir können die Werte erhalten, indem wir die Funktion Φ ableiten  und auf 0 setzen.

Für die Beschleunigungsresonanz als Beispiel erhalten wir

(dΦ_a)/(dω_R )=1/〖ω_0〗^2 ∙(4ζ^2 ω_R-2ω_R (1-〖ω_R〗^2))/[(1-〖ω_R〗^2 )^2+4ζ^2 〖ω_R〗^2 ]^(3⁄2)

und wir finden die Null bei

ω_R=√(1-〖2ζ〗^2 )

​Damit erhält man für die verschiedenen Resonanzfrequenzen analog:

Beschleunigungsresonanzfrequenz:

[ω_res ]_a=ω_0∙√(1-〖2ζ〗^2 )

Geschwindigkeitsresonanzfrequenz:

[ω_res ]_v=ω_0

Verschiebungsresonanzfrequenz:

[ω_res ]_d=ω_0∙1/√(1-〖2ζ〗^2 )


Wie kann es sein, dass man für dasselbe physikalische Phänomen drei verschiedene Lösungen erhält?

Bei der Resonanzfrequenz absorbiert der Oszillator die maximale Energie. Da die Leistung gleich Kraft mal Geschwindigkeit ist, wird dieses Maximum gefunden, wenn der Phasenwinkel des Ausgangssignals x gleich π /2 ist. Dabei steigt die Amplitude des Systems kontinuierlich an, bis die Energieaufnahme mit dem Energieverlust durch Dämpfung im Gleichgewicht ist.
Das bedeutet, dass das physikalische Phänomen der Resonanz immer bei einem Phasenwinkel von π /2 liegt und dies immer bei ω = ω 0 der Fall ist.
Um also die "richtige" (physikalische) Resonanz zu sehen, müssen wir die Geschwindigkeitsamplitude des Eingangssignals konstant halten . Wir stellen fest, dass dann die Resonanz bei ω 0 liegt .
Mit konstanter Beschleunigung, verringert sich die Geschwindigkeitsamplitude Frequenz mit dem Faktor 10 pro Dekade mit zunehmender. Das bedeutet, dass die zugeführte Energie bei Frequenzen unterhalb von ω 0 größer wird  und daher verschiebt sich die Resonanz mit maximaler Amplitude nach unten.

Dasselbe, aber umgekehrt, gilt für konstante Verschiebung. Hier wird die Resonanz mit maximaler Amplitude nach oben verschoben.