Vibration
Man sagt ein Körper vibriert, wenn er als Ganzes oder Teile davon um eine Ruheposition schwingen.
Für den Moment betrachten wir nur Schwingungen die periodisch (oder zyklisch) sind.
Die Anzahl der Schwingungen, die während 1 Sekunde ausgeführt werden, heisst Frequenz.
Die Dimension der Frequenz heisst Hertz [Hz].
1 Hz ist gleich 1/sec (oder 1 Schwingung pro Sekunde).
Wenn eine oszillierende Bewegung aus einer einzigen Komponente mit einer festen Frequenz besteht (wie zu Beispiel bei einer Stimmgabel), dann spricht man von einer harmonischen oder sinusförmigen Schwingung.
Die Vibrationen einer reellen Maschine sind normalerweise viel komplexer und bestehen aus mehreren Komponenten, die gleichzeitig auftreten.
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Drei verschiedene Arten Vibration zu beschreiben
Im Folgenden wollen wir die sinusförmige Vibration genauer untersuchen. Es bestehen drei Formen für die Beschreibung von Vibration: Der Schwingweg, die Schwinggeschwindigkeit und die Schwingbeschleunigung.
(Für Schwingweg wird oft auch das englische Wort "displacement" verwendet.)
Schwingweg (Displacement)
Die korrekte Notation des sinusförmigen Schwingwegs d lautet:
d = D ∙ sin (ωt−φ)
D = Amplitude
ω = Kreisfrequenz ω = 2π∙f
f = Frequenz f = 1/T
φ = Phasenwinkel oder Phase
Normalerweise können wir es einrichten, dass φ = 0 ist.
Dann wird d = D ∙ sin (ωt)
Die Notation "sin (ωt) " ist willkürlich, manchmal wird auch "cos (ωt)" verwendet
Geschwindigkeit (Schwinggeschwindigkeit)
Die Schwinggeschwindigkeit ist eine weitere Art die Vibration zu beschreiben
Die Schwinggeschwindigkeit ist natürlich auch eine Sinusfunktion. Sie eilt dem Schwingweg um den Phasenwinkel π/2 voraus.*
v = V ∙ sin (ωt + π/2)
Dies ist identisch mit
v = V ∙ cos (ωt)
V = Geschwindigkeitsamplitude
ω = Kreisfrequenz ω = 2π∙f
f = Frequenz = 1/T
*) Man kann auch sagen der Schwingweg eilt der Schwinggeschwindigkeit nach
Anmerkung: Der Masstab der Geschwindigkeit wurde so gewählt, dass die beiden Amplituden gleich gross erscheinen.
Beschleunigung
Eine dritte Möglichkeit zur Beschreibung der Vibration ist die Beschleunigung
Die Beschleunigung weist gegenüber dem Schwingweg eine Phasenver-schiebung von π auf.
a = A ∙ sin (ωt + 𝛑)
Dies ist identisch mit
a = − A ∙ sin (ωt) *
*) Das negative Vorzeichen besagt, dass bei einer harmonischen Schwingung die Beschleunigung immer dem Schwingweg entgegen gesetzt ist.
Anmerkung: Der Masstab der Beschleunigung wurde so gewählt, dass die beiden Amplituden gleich gross erscheinen.
Beziehung zwischen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg
Bis dahin haben wir alle Amplituden auf "eine Einheit" gesetzt, d.h. wir haben den Masstab der gezeichneten Kurven derart gewählt, dass sie einheitlich mit der selben Amplitude erscheinen. Es war dadurch etwas einfacher die Eigenschaften der sinusförmigen Vibration und im speziellen die Phasenlage von a, v und d zu verstehen.
Die Amplituden von Beschleunigung, Geschwindigkeit und Schwingweg stehen jedoch immer in einem bestimmten Verhältnis zueinander, welches von der Frequenz abhängig ist.
Im Folgenden wollen wir dieses Gesetz genauer anschauen.
Bei einer harmonischen Schwingung können wir nebst der Frequenz nur eine Amplitude (z.B. die Beschleunigung) wählen. Mit dieser Wahl sind die andern Amplituden (von Geschwindigkeit und Weg) in einer fixen Relation vorgegeben.
Die Notation der Beschleunigung war:
a = − A ∙ sin (ωt)
Bei konstanter Beschleunigung und steigender Frequenz...
...sinkt die Geschwindigkeit invers proportional zu der Frequenz:
v = A/ω ∙ cos (ωt)
...und der Schwingweg sinkt mit der inversen Frequenz im Quadrat:
d = A/ω² ∙ sin (ωt)
Die entsprechenden Amplituden werden dann zu: V=1∕ω·A D=1∕ω²·A
oder in mit der Schwingfrequenz
Die lineare Darstellung ist nicht sehr übersichtlich, deshalb verwendet man normalerweise logarithmische Skalen für Frequenz und Amplitude.
Mit V=ω⁻¹·A
sinkt die Geschwindigkeit V mit
-1 Dekade pro Dekade der Frequenz
und mit D=ω⁻²·A
sinkt der Schwingweg mit -2 Dekaden pro Dekade der Frequenz
Dimensionen von Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg
Im Kapitel über die gleichförmige Beschleunigung haben wir die Dimensionen der Vibrationsparameter kennen gelernt. Sie lauten für
Schwingweg : Meter (m) oder milli-Meter (mm)
Geschwindigkeit : Meter pro Sekunde (m/s) oder milli-Meter pro Sekunde (mm/s)
Beschleunigung : Meter pro Sekunde pro Sekunde (m/s²)
Dies sind gemäss dem SI-System auch die korrekten Dimensionen für die Vibrationsterme.
( = Internationales Einheitssystem)
Es wird jedoch in weiten Teilen der Industrie, vor allem im Bereich der Aeronautik, ein englisches Sysem mit folgenden Einheiten verwendet:
Schwingweg : inch (in) or mils (in/1000)
Geschwindigkeit : inch/second (ips)
Beschleunigung : g ( = Erdbeschleunigung)
1g = 9,81 m/s²
Eine zusätzliche Eigenheit ist, dass der Schwingweg normalerweise in "Spitze-Spitze" bezw. "peak to peak" (pk-pk) Werten angegeben wird, die Geschwindigkeit und Beschleunigung dagegen in "Spitze" bezw. "peak" (pk) Werten.
