Fundamentale Gleichungen der Piezoelektrizität
Die Grundgleichungen der Piezoelektrizität werden aus der thermodynamischen Energiebilanz abgeleitet. Die beteiligten Energien sind mechanisch, elektrisch und thermisch. Zur Vereifachung, betrachten wir die Wärmeenergie an dieser Stelle nicht. Für unsere Zwecke brauchen wir die Wechselwirkung zwischen dem elektrischen und mechanischen Verhalten der Materie.
Beginnen wir von vorne: Das elektrische Verhalten eines Dielektrikums (oder eines nicht belasteten Piezomaterials) unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes wird durch die Feldstärke E und die dielektrische Verschiebung D beschrieben.
D = ε E [D]=C/m² (Coulomb per meter ²)
ε ist die Permittivität des Materials.
Die Verschiebung D wird auch als elektrische Flussdichte oder Ladungsdichte bezeichnet.
Das mechanische Verhalten des gleichen Materials (bei elektrischer Feldstärke Null) wird durch zwei mechanische Grössen definiert, die angelegte Spannung T und die Dehnung S :
S = s T [S]=m/m (meter per meter)
s ist die Nachgiebigkeit des Materials.
Bei einem Piezomaterial müssen wir die Polarisation einbeziehen. Die Beschreibung der Wechsel-wirkung mechanisch - elektrisch kann in guter Näherung durch lineare Beziehungen erfolgen:
S =sᴱ∙T+d∙E
D=d∙T+eᵀ∙E
In diesen beiden Beziehungen erscheint die piezoelektrische Ladungskonstante d . Wir schließen daraus, dass d als Quotient aus S und E oder D und T definiert werden kann.
Tatsächlich sind die obigen Gleichungen Tensorgleichungen mit 3 elektrischen Grössen (in der 1-, 2- und 3-Richtung) und 6 mechanischen Grössen, nämlich der Normalspannung in drei Richtungen und der Scherspannung um die drei Achsen. Dies bedeutet, dass von jedem piezoelektrischen Parameter im allgemeinsten Fall bis zu 18 Variablen existieren können, beschrieben durch Indizes.
Wenn wir dies (zum Spass) ausschreiben, sieht es so aus:
D1 würde also zum Beispiel wie folgt berechnet werden
Glücklicherweise sind in den meisten Fällen viele Elemente der obigen Matrix gleich Null oder aufgrund der Symmetrie des Kristalls mindestens identisch mit einem anderen Element.
Die Wahl der unabhängigen Variablen (mechanisches T und elektrisches E ) ist willkürlich.
Wenn wir die Verschiebung D anstelle von E als unabhängige elektrische Variable wählen, erhalten wir das folgende Beziehungspaar:
E=−g∙T+ D/εᵀ
S=sᴰ∙T+ g∙D
Nun erscheint die piezoelektrische Spannungskonstante g und wir sehen, dass g als Quotient aus E und T oder S und D ausgedrückt werden kann .
Ein gegebenes Paar piezoelektrischer Gleichungen entspricht einer bestimmten Auswahl unabhängiger Variablen. In ähnlicher Weise ist es möglich, noch zu weiteren Beziehungspaaren zu gelangen:
E = −h∙S+D/εˢ D = d∙S+ εˢ∙E
T = cᴰ∙S−h∙D T = cᴱ∙S−e∙E
Die Ausdrücke cᴰ und cᴱ sind die elastischen Steifigkeiten (Spannung pro Dehnungseinheit);
h und e sind piezoelektrische Konstanten. Sie werden in der Praxis selten verwendet und hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt.